e^(z) 是數學中一個重要的表達式，特別是在複變函數和微積分中。這裡的 e 是自然對數的底數，約等於 2.71828，而 z 通常表示一個複數或實數。這個表達式的主要特點包括： 1. 指數增長：當 z 為正實數時，e^(z) 會隨著 z 的增加而指數增長。 2. 複數指數：當 z 為複數時，根據歐拉公式，e^(iz) = cos(z) + i*sin(z)，這顯示了指數函數與三角函數之間的關係。 3. 微積分中的應用：e^(z) 的導數是自身，這使得它在數學分析中非常重要。
指數函數是一種形式為 f(x) = a * e^(bx) 的函數，其中 a 和 b 是常數，e 是自然對數的底數。這種函數在數學和科學中經常用來描述增長或衰減的過程，特別是在金融、物理和生物學中。
例句 1：
指數函數在財務模型中經常用來預測資金的增長。
Exponential functions are often used in financial models to predict the growth of investments.
例句 2：
這個指數函數的圖形在 x 軸上迅速上升。
The graph of this exponential function rises rapidly along the x-axis.
例句 3：
許多自然現象都可以用指數函數來描述，例如細菌的增長。
Many natural phenomena can be described by exponential functions, such as the growth of bacteria.
自然指數是指以 e 為底的指數，常用於數學和科學計算中。它在微積分中具有特殊的性質，因為其導數等於自身，這使得它在解微分方程時非常有用。
例句 1：
自然指數在許多科學領域中都扮演著重要角色。
The natural exponent plays a crucial role in many scientific fields.
例句 2：
我們可以使用自然指數來計算複利。
We can use the natural exponent to calculate compound interest.
例句 3：
自然指數的特性使得它在數學分析中非常受歡迎。
The properties of the natural exponent make it very popular in mathematical analysis.
當 z 是一個變數或常數時，這個表達式表示 e 的 z 次方。這在複變數分析中非常重要，因為它涉及到複數的運算。
例句 1：
Euler 的數字 e 的 z 次方在數學上有很多應用。
Euler's number raised to z has many applications in mathematics.
例句 2：
這個公式顯示了如何將複數運算與指數運算結合。
This formula shows how to combine complex operations with exponential calculations.
例句 3：
在物理學中，Euler 的數字經常用於描述波動和振動。
In physics, Euler's number is often used to describe waves and vibrations.
複指數函數是指當 z 是複數時的 e^(z)。根據歐拉公式，這可以轉化為三角函數的形式，這在工程和物理學中非常重要。
例句 1：
複指數函數能夠描述旋轉和波動。
The complex exponential function can describe rotations and oscillations.
例句 2：
在電路分析中，複指數函數是非常重要的工具。
In circuit analysis, the complex exponential function is a very important tool.
例句 3：
我們可以使用複指數來解釋量子力學中的現象。
We can use complex exponentials to explain phenomena in quantum mechanics.